Top.BMP

Kesir genişletmesi paylaşımların kurallara uygun olup, olmadığı konusunda bizi bilgilendiren en iyi matematiksel anahtardır. Milli gelirden, Milli geliri oluşturanların aldıkları ya da alacakları payı en iyi anlamanın yolu kesir genişletmesidir.

 

Bir kesirli sayının pay ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa, kesrin değeri değişmez. Söz gelimi; bir bölü onluk kesir yerine, on bölü yüzlük kesri de alabilirsiniz. Kesrin pay ve paydası 10’la çarpılmıştır. Başka bir deyişle: onda birlik pay yerine, yüzde onluk pay terimi de kullanılmaktadır.

 

Matematikteki anne babalar bu durumu, ”kesir genişletmesi” olarak tanımlıyorlar.

 

Tanımlıyorlar tanımlamasına da ne işe yaradığı sorusunu pek sormuyorlar. Hadi biz soralım. Kesir genişletmesi ne işe yarar?

 

Dört kardeşe, babadan miras kalan bir tarla, vasiyet gereği; beşte bir, dörtte bir, ikide bir ve yirmide bir oranlarında paylaştırılacaktır. Vasiyetin hakkaniyet kurallarına uyup uymadığını anlamanın en iyi yolu,pay oranlarını doğru dürüst karşılaştırmaktır.

 

Mirasçılardan biri, kendisine yirmide bir oranında pay bırakıldığını, bu nedenle tarlayı yirmi eşit parçaya bölerek karşılaştırma yapılmasını önerir. Önerinin kabul görmesi üzerine;

 

1. kişi yirmide bir pay………………………………………………………..1/20 pay
2. kişi beşte bir pay(pay ve payda 4 ile çarpılırsa) ………………….4/20 pay
3. kişi dörtte bir pay(pay ve payda 5 ile çarpılırsa)………………….5/20 pay
4. kişi ikide bir pay(pay ve payda 10 ile çarpılırsa)…………………10/20 pay

 

olduğu ortaya çıkacaktır ki, oldukça adaletsiz bir pay dağıtımı vardır. Düşük pay alan kardeşlerin itirazları üzerine yeni bir pay dağılımı anlaşması yapılabileceği gibi, miras davalarına bakan bir mahkeme kanalıyla da sorun çözülebilir. Böylelikle haksızlıklar giderilmiş olur.

Şimdi de temel bilimlerde kesir genişletmesinden nasıl yararlanabiliriz, ona bakalım. Oran Orantı konusunu tartışırken Elektriksel ve Kütle Çekim Kuvvetlerini örnek vermiştim.

 

 elektriksel_kuvvet

Her iki kuvvette de; niceliklerin büyüklüklerini çarpın, aralarındaki uzaklığın karesine bölün uygulaması vardı.

elektriksel_kuvvet_3

Elektriksel kuvvetlerde yüklerin büyüklükleri çarpılacak, aralarındaki uzaklığın karesine bölünerek, kuvvetin kaç katına çıktığı bulunacak.

Aynı şekilde; Kütlesel çekim kuvvetlerinde de, kütlelerin büyüklükleri çarpıldıktan sonra, aralarındaki uzaklığın karesine bölünerek kaç katına çıktığı bulunacaktır.

Bazı uygulamalarda, kuvvetlerin büyüklüklerinin aynı kalması istenir.Bunun anlamı şudur.”Kesir genişletmesi yapın lütfen” demektir. Başka bir deyişle, pay ve paydayı aynı sayı ile çarpın komutu vardır uygulamada.

Örneklemek istersek;

Elektriksel kuvvetlerle ilgili bir uygulamada, elektrikçe yüklü iki parçacık arasındaki itme kuvveti F büyüklüğündedir.Yüklerden birinin büyüklüğü 4 katına çıkarıldığında, aralarındaki itme kuvvetinin yine F olması için, aralarındaki uzaklık, ilk uzaklığın kaç katı olmalıdır? sorusuna yanıt arayalım.

Yükler çarpımı bölü uzaklığın karesinden oluşan kuvvetin, yani kesrin aynı kalması isteniyor. Pay ve payda aynı sayı ile çarpılmış olmalıdır. Yüklerden biri 4 katına çıkarıldığına göre, yükler çarpımı da 4 katına çıkmıştır. Paydanın da 4 ile çarpılması gerekmektedir. Yani uzaklığın karesi 4 katsayısını vermelidir. Hangi sayının karesi 4 tür sorusunun yanıtı 2 olacağından, uzaklık, ilk uzaklığın 2 katına çıkmalıdır.

Bir başka örneklemede, yükler çarpımı 9 katına çıkarıldığında, kuvvetin büyüklüğünün değişmemesi isteniyorsa, uzaklığın karesi olan paydanın 9 katına çıkması gerektiğinden, uzaklık 3 katına çıkmalıdır.

Sorularımızı biraz daha karmaşık hale getirelim.

Yük büyüklükleri 4q ve 9q olan iki parçacık arasındaki uzaklık 50 cm dir. Aralarına, 4q dan kaç cm uzağa bir Q yükü koyalım ki dengelensin ya da öteleme yapmasın?

Q yükünün dengelenebilmesi için, kendisine zıt yönde uygulanacak elektriksel kuvvetlerin büyüklüklerinin eşit olması gerekiyor. Başka bir deyişle, kuvvetin F olarak kalması gerekiyor.

 Sol taraftan baktığımızda yükler çarpımı 4  (4q.Q) olduğundan, paydanın 4 ile çarpılması, yani uzaklığın karesi 4 olmalı. 2 nin karesi 4 olacağından, 4q yükünün Q yüküne olan uzaklığı 2d olmalıdır. Sağ taraftan bakıldığında yükler çarpımı 9 (9q.Q) olduğundan, paydadaki uzaklığın karesi de 9 olmalıdır. Yani, 9q yükünün Q yüküne olan uzaklığı 3d olmalıdır. Böylelikle, 4q ve 9q yükleri arasındaki toplam uzaklık 5d=50 cm olup, 4q yükünün Q ya olan uzaklığı x=2d=20 cm olmalıdır.

Geçmiş yıllarda, iki basamaklı üniversiteler arası giriş sınavlarının ikinci basamağında sorulan bir uzmanlık sorusu şöyle verilmişti.

Yer kütlesi Ay kütlesinin 81 katıdır. Kütle merkezleri arasındaki uzaklık, Yer yarıçapının 60 katı olduğuna göre, aralarına, Yer’den ne kadar uzağa bir uzay kabini yerleştirelim ki dengelensin (ağırlıksız olsun)?

Ay kütlesine 1 birim kütle diyecek olursak, Yer kütlesi 81 birim kütle olacaktır. Bu kütlelerin, uzay kabinine uygulayacakları kütle çekim kuvvetleri aynı olmalıdır ki denge sağlansın. Dikkat edersek, kuvvetin ya da kuvveti oluşturan kesrin aynı kalması gerekiyor.

Yer küresinden bakıldığında; payı oluşturan kütleler çarpımı 81 katına çıktığında, paydayı oluşturan uzaklığın karesi 81 ve uzaklık 9 katına çıkmalı, yani, uzay kabini yerden 9d uzaklıkta olmalıdır. Ay küresinden bakıldığında; payı oluşturan kütleler çarpımı 1 olduğundan, paydayı oluşturan uzaklığın karesi 1 ve uzaklık 1 katına çıkmalı, yani uzay kabini Ay’dan d uzaklıkta olmalıdır.

Yer ile Ay arasındaki toplam uzaklık 9d+d=10d =60R olacağından, d=6R ve uzay kabininin Yer merkezine olan uzaklığı x=9d=9x6R=54R olmalıdır.

8,100 total views, 2 views today

Share